Sonsuza Aldanmak.
Sonsuzun elemanlarıyla oynayarak türlü cambazlıklar yapılabilir. Bunun en meşhur örneği pozitif doğal sayıların toplamının -1/12'ye eşit olduğunu söyleyen hipotezdir. İnternette bununla ilgili tonlarca yazılı ve görsel bilgi var. Merak eden çok daha yakından inceleyebilir bunu tabii. Ben de bu somutlaştırma işleminden birazcık bahsetmek isterim ama.
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Nasıl oluyor da tam sayılardan oluşan ve toplamı sürekli artan bir seri böyle garip kesirli negatif bir sayıya eşit olabiliyor? Bunu yapmanın tek bir yolu var, o da bu seriyle oyun hamuru gibi oynamak. Ama bunu yapmadan önce iki oyun hamuruna (seriye) daha ihtiyacımız var;
A = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
B = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
Şimdi bir süreliğine bunları bir kenara bırakalım ve özel bir yöntemden bahsedelim. Cesaro isminde başka bir matematik cambazının fikirlerini ziyaret edelim. Bu adam serilerin toplamı ile ilgili ilginç bir yöntem bulmuş. Diyor ki, eğer serinin elemanlarının topamlarının ortalamalarını alarak ilerlersek sonuçta bir değişiklik olmuyor. Lakin bu farklı yöntem diğer bazı serilerin toplamını anlamak (somutlaştırmak) için bize bir kapı açıyor.
Şu ilk firarımda bahsettiğim seriye uygulamayı deneyelim bu yöntemi. Hani okçu okunu atıyor ve ok hedefe hiçbir zaman saplanamıyordu ya işte o. Neydi bu seri;
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
Bunun neden 2'ye eşit olduğunu anlamıştık daha önce. Kısaca bu serinin kısmi toplamları her seferinde 2'ye doğru biraz daha yaklaşır. Şimdi aynı seriyi Cesaro yöntemiyle irdeleyelim. Yani serinin elemanlarının toplamlarının ortalamalarını alarak ilerleyelim (Türkçede buna 4 boyutlu isim tamlaması deniyor).
Serinin kısmi toplamlarını yan yana yazalım;
{ 1 } , { 1 + 1/2 } , { 1 + 1/2 + 1/4 } , { 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 } , { 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 } , ...
{ 1 } , { 3/2 } , { 7/4 } , { 15/8 } , { 31/16 } , ... (Yukarıdakinin aynısı)
{ 1 } , { 1.5 } , { 1.75 } , { 1.875 } , { 1.9375 } , ... (Ondalıklı yazalım ki 2'ye doğru gittiği anlaşılsın)
Şimdi esas noktaya gelelim. Bu kısmi toplamları birbiriyle toplayarak ortalamalarını alalım;
1 , ( 1 + 3/2 ) / 2 , ( 1 + 3/2 + 7/4 ) / 3 , ( 1 + 3/2 + 7/4 + 15/8 ) / 4 , ...
1 , 5/4 , 17/12 , 49/32 , ... (Yukarıdakinin aynısı)
1 , 1.25 , 1.41666 , 1.53125 , ... (Bu kısmi ortalamalar da 2'ye doğru gidiyor)
Görüyoruz ki farklı bir yöntem kullanarak gene aynı sonucu elde ediyoruz. Yani 2'ye yaklaşıyoruz.
Şimdiii...
Madem bu yöntemi kullanıp aynı sonucu elde edebiliyoruz şimdi bu farklı yöntemi başka bir serinin üzerinde deneyelim bakalım. Hani şu en yukarıda A dediğimiz seri;
1 - 1 + 1 - 1 + ...
1 , 0 , 1 , 0 , ... (Kısmi toplamlar)
1 , ( 1 + 0 ) / 2 , ( 1 + 0 + 1 ) / 3 , ( 1 + 0 + 1 + 0 ) / 4 , ... (Kısmi toplamların ortalamaları)
1 , 1/2 , 2/3 , 1/2 , 3/5 , 1/2 , 4/7 , 1/2 , 5/9 , ... (Sonuçlar)
Bu sonuç dizisini ikiye ayıracak olursak;
1 , 2/3 , 3/5 , 4/7 , 5/9 , ...
ve
1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 , ...
Sonuç dizilerini ayrı ayrı elde ediyoruz.
Burada ilginç bir durum ortaya çıkıyor. Sonuç dizisini ikiye ayırarak baktığımızda ikinci sonuç dizisinin sürekli tekrarlandığı görülüyor. İlk sonuç dizisinin ise giderek küçüldüğü ve 0'a doğru yaklaştığı anlaşılıyor. Dolayısıyla bu ilk sonuç dizisi sonsuzda 0'a varmış oluyor ve değeri sonsuzda önemsiz hale geliyor. Böylelikle sonsuzda elimizde azalmayan hep aynı kalan ikinci sonuç dizisi kalıyor sadece. O da görüldüğü gibi 1/2. Bu mantıkla da gönül rahatlığıyla bu serinin toplamının 1/2 olduğunu söyleyebiliyoruz işte.
1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2
Gönül rahat ama zihin öyle mi? Pek sayılmaz. Ama bunu daha sonra konuşalım. Şimdi gelelim en yukarıda B dediğimiz seriye;
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
Bunun toplamı nedir diye düşünelim şimdi de. Bunu düşünenler zaten düşünmüş ve şöyle bir cambazlık bulmuşlar buna da. Bu seriyi biririyle toplayalım. Sonsuz seriler toplanır mı diye sormayın şimdi. Sonsuzla oynuyoruz burada. Zihnimizin ötesinde mantığımızın sınırında dolaşıyoruz. Cesaretimizle gurur duymak varken sağduyumuzla hareket etmek olmaz bu durumda tabii. Bu yüzden böyle sorular sormayıp devam edelim ve toplayalım iki sonsuzu. Hatta biraz daha ukalalık edip daha ileri gidelim ve bu iki sonsuz serideki her bir elemanı bir sonraki elemanla toplayalım. Yani küçük bir kaydırma yapalım ve bu iki seriyi altalta yazıp toplayalım.
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
+
--------------------------------
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Bu kadar da olmaz ki demeyin. Evet olmaz ama başka çaremiz de yok. Kavramsız bir şeyi mantıklı hale getirmeye çalışıyoruz burada. Mantığınızı susturun şimdilik fazla ses çıkartmasın dikkatinizi dağıtmasın.
Evet nerede kalmıştık? Evet bu iki sonsuz serinin tuhaf toplamından elde ettiğimiz sonuç tanıdık geliyor sanki. Daha biraz önce üzerinde çalışmıştık hani ve sonucu 1/2 bulmuştuk hani. Dolayısıyla bunu şu şekilde gösterebiliriz pek ala;
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (Yukarıdaki kaydırılmış altalta olan toplamdan dolayı)
2B = 1/2
B = 1/4
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = 1/4
Toplamını bulmak istediğimiz pozitif tam sayılardan oluşan ana serimize K diyelim;
K = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
Şimdi K'den B'yi çıkartalım;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
-
----------------------------------
0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
Şimdi bu sonucu 4 parantezine alalım;
4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... )
Bu parantez içindeki seri zaten bizim ana serimiz ve ona K demiştik. Yani hepsini toparlayarak yazacak olursaaak;
K - B = 4K
B = -3K
1/4 = -3K
K = -1/12
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Aslında bir bütün olan sonsuzu elemanlarına parçalayıp onunla bu ölçekte oynamak ilk başta mantığa aykırı olsa da bu zihni baştan çıkartan hilelerin cazibesine kapılıp bu mantık çıkmazını görmezden gelerek yolumuza devam edince ortaya bir şeyler çıkıyor görüldüğü gibi. En azından zihnimize ters bazı kavramsal imkansızlıklar açıklanabilir ve sonuç alınabilir bir hale dönüşüyor böylece.
Matematik, mantıkla mantıksızlığın tam ortasında duran bir arabulucudur sanki. İnsan beyninin yangın merdivenidir adeta. Ne zaman zihnimiz bir problem karşısında tıkansa sıkışsa kaybolsa ve çözüm üretemeyecek bir hale gelse aramızdaki matematik dehaları bu paradoksları çözecek yeni modeller ortaya çıkartmak için hazır bekliyor olacaktır her zaman. Çünkü matematiğin sınırı ve sonu yoktur. Matematiğin bizzat kendisi sonsuzluğun en büyük kanıtıdır.
Elbette daha çözülemeyen anlaşılamayan fenomenler var bu sonsuz dünyada. Örneğin asal sayılar, pi sayısı, bazı karmaşık yüksek matematik gerektiren derin hipotezler, üst boyutların geometrisi. Ama o matematik dehaları bunlar üzerinde çalışmayı hiçbir zaman bırakmadılar. Çünkü onlar bizden çok daha iyi biliyorlar matematikte her şeyin bir çıkış yolu olduğunu. Bugün bilgisayarların da yardımıyla tüm bu soyut düşünceleri somutlaştırmak adına matematiğin sonsuz evreninde dolaşıyor hepsi.
Eveeet... Beynimizi soyut sonsuzluğa hazırlamak ve ona alışıp sıradan bir kavram gibi davranmak için bu tarz yaklaşımlar hep ilgimi çekmiştir. Matematikçilerin beyni eminim bizlerden çok farklıdır. Onlar dünyayı bizim gibi görmezler. Belki biz de kendi sıradan beynimizle bunu başarabiliriz miyiz diye merak ettiğim zamanlarda sonsuzluğa bir göz ve akıl gezdiririm hep.
İçinde yaşadığımız ve bizi yaratan ve yaşatan evrenimiz de matematikteki sonsuza çok benzemiyor mu aslında? Sürekli genişliyor. Dinamik ve hareketli. Elemanları var. Geometrisi var.
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Nasıl oluyor da tam sayılardan oluşan ve toplamı sürekli artan bir seri böyle garip kesirli negatif bir sayıya eşit olabiliyor? Bunu yapmanın tek bir yolu var, o da bu seriyle oyun hamuru gibi oynamak. Ama bunu yapmadan önce iki oyun hamuruna (seriye) daha ihtiyacımız var;
A = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
B = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
Şimdi bir süreliğine bunları bir kenara bırakalım ve özel bir yöntemden bahsedelim. Cesaro isminde başka bir matematik cambazının fikirlerini ziyaret edelim. Bu adam serilerin toplamı ile ilgili ilginç bir yöntem bulmuş. Diyor ki, eğer serinin elemanlarının topamlarının ortalamalarını alarak ilerlersek sonuçta bir değişiklik olmuyor. Lakin bu farklı yöntem diğer bazı serilerin toplamını anlamak (somutlaştırmak) için bize bir kapı açıyor.
Şu ilk firarımda bahsettiğim seriye uygulamayı deneyelim bu yöntemi. Hani okçu okunu atıyor ve ok hedefe hiçbir zaman saplanamıyordu ya işte o. Neydi bu seri;
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
Bunun neden 2'ye eşit olduğunu anlamıştık daha önce. Kısaca bu serinin kısmi toplamları her seferinde 2'ye doğru biraz daha yaklaşır. Şimdi aynı seriyi Cesaro yöntemiyle irdeleyelim. Yani serinin elemanlarının toplamlarının ortalamalarını alarak ilerleyelim (Türkçede buna 4 boyutlu isim tamlaması deniyor).
Serinin kısmi toplamlarını yan yana yazalım;
{ 1 } , { 1 + 1/2 } , { 1 + 1/2 + 1/4 } , { 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 } , { 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 } , ...
{ 1 } , { 3/2 } , { 7/4 } , { 15/8 } , { 31/16 } , ... (Yukarıdakinin aynısı)
{ 1 } , { 1.5 } , { 1.75 } , { 1.875 } , { 1.9375 } , ... (Ondalıklı yazalım ki 2'ye doğru gittiği anlaşılsın)
Şimdi esas noktaya gelelim. Bu kısmi toplamları birbiriyle toplayarak ortalamalarını alalım;
1 , ( 1 + 3/2 ) / 2 , ( 1 + 3/2 + 7/4 ) / 3 , ( 1 + 3/2 + 7/4 + 15/8 ) / 4 , ...
1 , 5/4 , 17/12 , 49/32 , ... (Yukarıdakinin aynısı)
1 , 1.25 , 1.41666 , 1.53125 , ... (Bu kısmi ortalamalar da 2'ye doğru gidiyor)
Görüyoruz ki farklı bir yöntem kullanarak gene aynı sonucu elde ediyoruz. Yani 2'ye yaklaşıyoruz.
Şimdiii...
Madem bu yöntemi kullanıp aynı sonucu elde edebiliyoruz şimdi bu farklı yöntemi başka bir serinin üzerinde deneyelim bakalım. Hani şu en yukarıda A dediğimiz seri;
1 - 1 + 1 - 1 + ...
1 , 0 , 1 , 0 , ... (Kısmi toplamlar)
1 , ( 1 + 0 ) / 2 , ( 1 + 0 + 1 ) / 3 , ( 1 + 0 + 1 + 0 ) / 4 , ... (Kısmi toplamların ortalamaları)
1 , 1/2 , 2/3 , 1/2 , 3/5 , 1/2 , 4/7 , 1/2 , 5/9 , ... (Sonuçlar)
Bu sonuç dizisini ikiye ayıracak olursak;
1 , 2/3 , 3/5 , 4/7 , 5/9 , ...
ve
1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 , ...
Sonuç dizilerini ayrı ayrı elde ediyoruz.
Burada ilginç bir durum ortaya çıkıyor. Sonuç dizisini ikiye ayırarak baktığımızda ikinci sonuç dizisinin sürekli tekrarlandığı görülüyor. İlk sonuç dizisinin ise giderek küçüldüğü ve 0'a doğru yaklaştığı anlaşılıyor. Dolayısıyla bu ilk sonuç dizisi sonsuzda 0'a varmış oluyor ve değeri sonsuzda önemsiz hale geliyor. Böylelikle sonsuzda elimizde azalmayan hep aynı kalan ikinci sonuç dizisi kalıyor sadece. O da görüldüğü gibi 1/2. Bu mantıkla da gönül rahatlığıyla bu serinin toplamının 1/2 olduğunu söyleyebiliyoruz işte.
1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2
Gönül rahat ama zihin öyle mi? Pek sayılmaz. Ama bunu daha sonra konuşalım. Şimdi gelelim en yukarıda B dediğimiz seriye;
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
Bunun toplamı nedir diye düşünelim şimdi de. Bunu düşünenler zaten düşünmüş ve şöyle bir cambazlık bulmuşlar buna da. Bu seriyi biririyle toplayalım. Sonsuz seriler toplanır mı diye sormayın şimdi. Sonsuzla oynuyoruz burada. Zihnimizin ötesinde mantığımızın sınırında dolaşıyoruz. Cesaretimizle gurur duymak varken sağduyumuzla hareket etmek olmaz bu durumda tabii. Bu yüzden böyle sorular sormayıp devam edelim ve toplayalım iki sonsuzu. Hatta biraz daha ukalalık edip daha ileri gidelim ve bu iki sonsuz serideki her bir elemanı bir sonraki elemanla toplayalım. Yani küçük bir kaydırma yapalım ve bu iki seriyi altalta yazıp toplayalım.
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
+
--------------------------------
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Bu kadar da olmaz ki demeyin. Evet olmaz ama başka çaremiz de yok. Kavramsız bir şeyi mantıklı hale getirmeye çalışıyoruz burada. Mantığınızı susturun şimdilik fazla ses çıkartmasın dikkatinizi dağıtmasın.
Evet nerede kalmıştık? Evet bu iki sonsuz serinin tuhaf toplamından elde ettiğimiz sonuç tanıdık geliyor sanki. Daha biraz önce üzerinde çalışmıştık hani ve sonucu 1/2 bulmuştuk hani. Dolayısıyla bunu şu şekilde gösterebiliriz pek ala;
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (Yukarıdaki kaydırılmış altalta olan toplamdan dolayı)
2B = 1/2
B = 1/4
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = 1/4
Toplamını bulmak istediğimiz pozitif tam sayılardan oluşan ana serimize K diyelim;
K = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
Şimdi K'den B'yi çıkartalım;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
-
----------------------------------
0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
Şimdi bu sonucu 4 parantezine alalım;
4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... )
Bu parantez içindeki seri zaten bizim ana serimiz ve ona K demiştik. Yani hepsini toparlayarak yazacak olursaaak;
K - B = 4K
B = -3K
1/4 = -3K
K = -1/12
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Aslında bir bütün olan sonsuzu elemanlarına parçalayıp onunla bu ölçekte oynamak ilk başta mantığa aykırı olsa da bu zihni baştan çıkartan hilelerin cazibesine kapılıp bu mantık çıkmazını görmezden gelerek yolumuza devam edince ortaya bir şeyler çıkıyor görüldüğü gibi. En azından zihnimize ters bazı kavramsal imkansızlıklar açıklanabilir ve sonuç alınabilir bir hale dönüşüyor böylece.
Matematik, mantıkla mantıksızlığın tam ortasında duran bir arabulucudur sanki. İnsan beyninin yangın merdivenidir adeta. Ne zaman zihnimiz bir problem karşısında tıkansa sıkışsa kaybolsa ve çözüm üretemeyecek bir hale gelse aramızdaki matematik dehaları bu paradoksları çözecek yeni modeller ortaya çıkartmak için hazır bekliyor olacaktır her zaman. Çünkü matematiğin sınırı ve sonu yoktur. Matematiğin bizzat kendisi sonsuzluğun en büyük kanıtıdır.
Elbette daha çözülemeyen anlaşılamayan fenomenler var bu sonsuz dünyada. Örneğin asal sayılar, pi sayısı, bazı karmaşık yüksek matematik gerektiren derin hipotezler, üst boyutların geometrisi. Ama o matematik dehaları bunlar üzerinde çalışmayı hiçbir zaman bırakmadılar. Çünkü onlar bizden çok daha iyi biliyorlar matematikte her şeyin bir çıkış yolu olduğunu. Bugün bilgisayarların da yardımıyla tüm bu soyut düşünceleri somutlaştırmak adına matematiğin sonsuz evreninde dolaşıyor hepsi.
Eveeet... Beynimizi soyut sonsuzluğa hazırlamak ve ona alışıp sıradan bir kavram gibi davranmak için bu tarz yaklaşımlar hep ilgimi çekmiştir. Matematikçilerin beyni eminim bizlerden çok farklıdır. Onlar dünyayı bizim gibi görmezler. Belki biz de kendi sıradan beynimizle bunu başarabiliriz miyiz diye merak ettiğim zamanlarda sonsuzluğa bir göz ve akıl gezdiririm hep.
İçinde yaşadığımız ve bizi yaratan ve yaşatan evrenimiz de matematikteki sonsuza çok benzemiyor mu aslında? Sürekli genişliyor. Dinamik ve hareketli. Elemanları var. Geometrisi var.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder